De la ley de Hooke al oscilador simple

c e i i i n o s s s t t u v

—Robert Hooke (1660)

Anagrama cuyo significado es “Ut tensio, sic vis” —“como la extensión, así la fuerza”—, revelado por el autor en su tratado De potentia restitutiva (1678).

El núcleo de los estudios de acústica consiste en la comprensión de la física de las vibraciones mecánicas periódicas u oscilaciones, las cuales se repiten con una frecuencia determinada, originando nuestra sensación de altura.

El tipo de oscilación más elemental es el movimiento armónico simple. Un oscilador simple es el que describe este movimiento. Ejemplos clásicos de osciladores simples son un objeto suspendido de un resorte (un muelle o una cuerda elástica), un péndulo, o una lámina de metal sujeta fijada sólo en un extremo.

A partir de las leyes de Newton, y añadiendo la ley de Hooke, describiremos los mecanismos por los que en estos casos simples emergen el movimiento armónico simple y el movimiento armónico simple amortiguado. Mediante un modelo físico elemental en SuperCollider sintetizaremos ondas acústicas que representen ambos tipos de oscilación.

ley de elasticidad de Hooke

Robert Hooke es otro de los grandes iniciadores de la física moderna, junto a Newton, Huygens, Galileo y Kepler. La ley que lleva su nombre se formuló en los mismos años que se publicaron las leyes de Newton, y está muy relacionada con ellas. Lo que Hooke descubrió es que existe una proporcionalidad entre la fuerza que se aplica a un resorte y el estiramiento o compresión que sufre. Además, el resorte ejerce una fuerza en sentido contrario, al ser deformado.

En la siguiente figura se representa el caso típico más sencillo en que podemos visualizar esta proporcionalidad: un objeto colgado de un muelle o banda elástica:

Con el muelle en vertical, sin ningún objeto acoplado, su extremo inferior llegará hasta cierto punto en el espacio. Llamaremos x₀ a ese punto en estado de reposo. Al colgar un objeto de 1 kg de peso en el extremo inferior del muelle, este se estirará y su extremo inferior llegará al punto x, un nuevo punto de equilibrio. La diferencia entre x, y x₀ mide cuánto se ha estirado. Esta diferencia puede abreviarse como Δx (delta x):

Si por conveniencia consideramos x₀ = 0, como en la figura, la expresión se simplifica al máximo, y el valor x representará la elongación producida por el objeto de 1 kg.

Al sustituir el primer objeto por otro con el doble de masa, el muelle se estirará también el doble del primer estiramiento, 2x. Esa proporcionalidad directa es la que describe la ley de Hooke.

Para calcular cuánto se estirará el muelle en función del peso del objeto colgado, necesitamos también saber cuán flexible o rígido es el muelle. El muelle es caracterizado por k, la constante elástica -también llamada constante del muelle o constante recuperadora- que describe cuánta resistencia opone el muelle a la deformación. Un resorte menos elástico tendrá una constante k mayor.

Ya podemos enunciar la ley de Hooke, diciendo que el alargamiento longitudinal que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo. Se suele formular así:

donde F es la fuerza que ejerce el resorte, k la constante elástica, y x la elongación sufrida por el resorte. La fuerza resultante se opone al sentido de la elongación, de ahí el signo negativo.

En el ejemplo descrito, el objeto colgante pesa 1 o 2 kg por la fuerza de la gravedad. A esa fuerza que lo empuja a caer, la podemos llamar F_ext, por ser una fuerza externa que aplicamos al muelle. El punto de equilibrio se alcanzará cuando F (la fuerza que ejerce el resorte) iguale a F_ext. Podemos decir entonces que por la tercera ley de Newton —de acción-reacción—, el muelle opondrá una fuerza de la misma magnitud, pero en sentido contrario:

En suma, la magnitud de ambas fuerzas opuestas viene determinada por dos factores, ambos directamente proporcionales a la fuerza resultante:

• x (estiramiento o compresión del muelle): a mayor peso sobre el mismo muelle, mayor deformación y mayor fuerza ejercida y recibida.
• k (constante elástica): a mayor resistencia opuesta por el muelle, mayor fuerza será necesaria para llegar a la elongación x.

Es importante hacer notar que la ley de Hooke sólo se cumple dentro de cierto rango de deformación del resorte. Si superamos su límite de elasticidad el resorte se deformará permanentemente, o incluso se romperá.

oscilador simple

Volvemos a nuestro experimento mental, en el que tenemos 1 kg suspendido del muelle. Si ahora desplazamos el objeto hacia arriba o abajo, comprimiendo o estirando el muelle, y lo soltamos, es fácil predecir lo que ocurrirá: comenzará a oscilar subiendo y bajando por encima y debajo de su punto anterior de reposo. Por la fuerza de rozamiento del aire (y por otras razones que implican disipación de energía), esta oscilación irá cesando en amplitud hasta que el objeto vuelva finalmente al punto de equilibrio inicial.

Este movimiento periódico lineal en una sola dimensión es un movimiento armónico simple. Un oscilador simple es aquel que vibra con esta oscilación elemental.

Hay que considerar que en condiciones ideales, tales como tener nuestro oscilador en el vacío (sin resistencia de un medio fluido circundante) y sin pérdidas derivadas de las propias limitaciones físicas del experimento, nuestro oscilador simple seguiría vibrando eternamente sin perder amplitud. Esto sería consecuencia de la primera ley de Newton, o ley de la inercia, por la que un cuerpo tiende a mantener su velocidad: la inercia del movimiento y la fuerza reactiva opuesta del resorte estarían intercambiándose indefinidamente en un equilibrio pendular estable.

En una situación real nuestro experimento terminaría parándose, y lo que el oscilador realizaría es un movimiento armónico simple amortiguado. Esta disminución de la amplitud de la vibración la observamos obviamente en todos los instrumentos de percusión, en los que sólo aplicamos energía mecánica en un instante inicial.

amplitud y frecuencia del oscilador simple

Si repetimos el experimento anterior, cambiando más arriba o abajo el punto en el que soltamos el objeto (sin aplicarle ninguna aceleración, sino únicamente soltándolo cuando está quieto en el aire), observaremos dos propiedades de este movimiento:

• La deformación máxima del muelle nunca será mayor que la deformación inicial.
• La frecuencia de oscilación es siempre la misma: el tiempo que pasa entre cada pico máximo de elongación es siempre igual aunque difiera la amplitud del movimiento.

Esto último es así tanto para osciladores simples como para los complejos: sabemos que una cuerda de un instrumento musical siempre tiene el mismo tono, independientemente de que la hagamos sonar forte o piano.

movimiento senoidal

Observando el movimiento del objeto colgante, constataremos que su velocidad no es constante: se va frenando al llegar a los extremos, parándose un instante antes de cambiar de sentido y volver a acelerarse. La curva que describe nuestro objeto en el tiempo tiene una forma senoidal (también puede decirse sinusoidal o cosinosenoidal), ya que se corresponde con las dos funciones trigonométricas más importantes: seno y coseno.

Veamos cómo actúan las fuerzas involucradas, analizando en esta figura las fases por las que evoluciona la posición del objeto en el tiempo:

1. Cuando el objeto está en los extremos alto y bajo de la oscilación, sufre la fuerza máxima del resorte (ya sea por estiramiento o compresión), ya que la distancia x de nuestra fórmula llega a su máximo.
2. Como la velocidad que llevaba nuestro objeto ha sido comple­ta­mente frenada, sólo actúa ahora la fuerza del resorte, que es máxima, acelerando el objeto hacia el punto central de equilibrio.
3. A medida que nos acercamos al punto central, el objeto se acelera por la acción continuada del resorte, aumentada por la propia inercia del movimiento acumulado inmediatamente anterior.
4. Al llegar al punto de equilibrio la velocidad llega a su máximo por el proceso anterior. En este punto central el muelle no ejerce ninguna fuerza, ya que x = 0, y por tanto F = 0. Toda la fuerza la proporciona ahora la segunda ley de Newton: la fuerza que sufre el objeto es producto de su masa por la aceleración que ha adquirido gracias al muelle. Una vez sobrepasado el punto central, el muelle comienza a actuar de nuevo en sentido opuesto, ganando progresivamente el pulso a la inercia del objeto acelerado, y parándolo cuando el resorte la contrarresta totalmente, volviendo a la situación inicial. El ciclo se repetirá, ahora en sentido inverso del movimiento.

modelado físico del oscilador simple

A partir de las leyes de Newton y Hooke puede calcularse cómo las funciones seno y coseno son las soluciones que describen matemáticamente cómo evoluciona la velocidad, la aceleración y la posición en el tiempo de un objeto con un movimiento armónico simple. Y aunque este desarrollo analítico supera con mucho el nivel técnico de este artículo, es posible recrear el movimiento de un oscilador simple con un modelo físico de gran simplicidad, y por tanto, las ondas sonoras que este movimiento produce.

En síntesis de sonido denominamos modelado físico (physical modelling) a las técnicas que tratan de recrear las vibraciones de un objeto con un modelo matemático de sus propiedades físicas y de las leyes mecánicas involucradas.

El caso más sencillo se corresponde con el modelado de lo que sucede en un único punto de un oscilador simple, considerando una sola dimensión. Este modelo genera el movimiento armónico simple partiendo de tres variables:

• La constante elástica, que caracteriza el muelle.
• El punto en el que soltamos el objeto en el extremo del resorte, medido como la distancia al punto de equilibrio.
• El número de puntos de nuestra simulación.

Partiendo de dos puntos cualquiera del movimiento recorrido en un intervalo de tiempo, cuya distancia al punto de referencia es x₀ y x₁, definimos la distancia entre ellos como l = x₁ − x₀. Si el objeto estuviera libre de cualquier fuerza, por la ley de inercia sabemos que transcurrido el mismo intervalo de tiempo la distancia recorrida sería l de nuevo, ya que no habría variado su velocidad:

A continuación añadiremos la fuerza de un resorte, caracterizado por k, su constante elástica. En este modelo clásico, al movimiento anterior le restamos una cantidad F_m calculada aplicando la ley de Hooke:

Repitiendo el proceso indefinidamente tomando los dos últimos puntos para calcular el siguiente, obtendremos el movimiento senoidal característico del movimiento armónico simple.

En nuestro modelo no fijamos dos puntos iniciales, sino que simulamos soltar el objeto desde un punto, por lo que sólo necesitamos un valor de elongación. Consideramos que la velocidad inicial es 0. Este es el resultado de simular 1000 puntos partiendo de una constante elástica de 0,01 y una elongación inicial de 0,8:

Cambiando la elongación inicial por otra más pequeña, la amplitud del movimiento se reduce. Los máximos y mínimos de la curva son justamente el valor inicial x₀ dado. Es importante notar que la frecuencia no ha cambiado: hay exactamente el mismo número de ciclos por unidad de tiempo.

Esto implica que nuestro muelle siempre oscilará con la misma frecuencia si tenemos la misma masa suspendida en el extremo. Para tener una frecuencia diferente hemos de cambiar la constante elástica. Para un muelle más blando, con una constante k = 0,002, el movimiento se ralentiza, y por tanto el tiempo por ciclo aumenta y la frecuencia disminuye.

Con una variante del modelo anterior podemos crear un movimiento armónico simple amortiguado que simule la atenuación natural de la oscilación hasta detenerse en el punto de equilibrio. Para conseguir este efecto, añadimos un factor de resistencia del medio (habitualmente el aire, pero podría simularse cualquier otro fluido). Este factor no se aplica constantemente, sino que se hace dependiente de la velocidad del objeto en cada momento. Cuando el objeto se desplaza rápidamente la resistencia del fluido tiene mayor efecto. El resultado es que la energía del sistema se va disipando progresivamente, especialmente en la primera parte de la oscilación.

Con una mayor resistencia del fluido el descenso en la amplitud sucede más rápido.

Generando una secuencia con la resolución suficiente (con decenas de miles de puntos por segundo) se puede convertir esta curva a un archivo de audio, donde podemos comprobar que el resultado es un sonido completamente plano, con energía en una sola frecuencia (sin armónicos superiores a la fundamental). Esta transformación a sonido tiene sentido porque un oscilador simple excita las moléculas circundantes creando ondas acústicas análogas a su movimiento. Este archivo recoge las cinco ondas representadas previamente, alargadas lo suficiente en el tiempo para ser perceptibles, generadas con el siguiente código de SuperCollider.

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