Leyes de Newton y mecánica clásica

Principios fundamentales de la mecánica clásica y su relación con el sonido. Concepto y definición de fuerza. Masa, velocidad y aceleración. Limitaciones de la mecánica clásica.

acústica mecánica clásica

El sonido se origina por el aporte y propagación de energía mecánica en un medio. Y para entender los procesos que producen y gobiernan las ondas acústicas, se hace imprescindible conocer los primeros principios de la dinámica, que describen cómo interactúan los objetos o partículas en movimento. A partir de ellos podremos entender cómo emergen movimentos periódicos que dan lugar a nuestra sensación de altura, intensidad y timbre, y el resto de fenómenos acústicos relacionados con la difusión del sonido en el espacio.

leyes de Newton

Isaac Newton sistematizó en sus Principia Mathematica (1687) ideas de Galileo, Hooke, Huygens y las suyas propias para establecer los tres principios de lo que hoy llamamos mecánica clásica, esto es, la base matemática que permite describir y predecir con precisión el movimento y la interacción entre cuerpos físicos en el espacio y el tiempo. Esta obra puede considerarse en muchos aspectos como el verdadero arranque de la ciencia moderna.

portada Principia Mathematica de Isaac Newton
Portada del tratado Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), de Isaac Newton, referido a menudo simplemente como los Principia. En él se recogen las tres leyes que estudiaremos a continuación.

Este tratado modela los conocimientos de la época en física y astronomía a partir de la geometría y el cálculo matemático. Cuando estudia el movimento de los cuerpos (o dinámica), formula tres principios de los cuales se derivan casi todos los desarrollos posteriores de la mecánica clásica:

primera ley de Newton o ley de inercia

La ley de inercia asegura que todo cuerpo permanece moviéndose a velocidad constante siempre que no intervenga otra fuerza neta sobre él. Si el cuerpo está quieto, permanecerá quieto (en este caso consideraríamos que tiene una velocidad igual a 0, por lo que no es un caso particular). Una fuerza neta es aquella que altera el estado de movimento o reposo previo.

Su formulación es

ΣF = 0

que puede traducirse diciendo que la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sobre el que no se ejerce otra fuerza desequilibrante es nula. Su consecuencia directa es esa conservación del movimiento o quietud.

Hasta el Renacimento este principio no fue comprendido correctamente. En épocas anteriores primaba la errónea pero influyente concepción de Aristóteles, que afirmaba que en ausencia del aporte de una fuerza activa cualquier objeto en movimiento terminaría deteniéndose. Se impuso el principio teleológico aristotélico: todo tiende a un fin y la fuente de todo movimiento es un motor primigenio inmóvil, de carácter metafísico, que mantiene en marcha el Universo.

En nuestro entorno cotidiano los cuerpos en movimiento se paran porque su inercia es contrarrestada por fuerzas de fricción, rozamiento, gravedad, y por la disipación de energía por deformaciones elásticas o en forma de calor. Sólo podemos experimentar con claridad ese movimento constante y uniforme en microgravedad u observando los cuerpos celestes, para los que virtualmente no hay rozamiento.

Una consecuencia de la primera ley es la ausencia de un marco de referencia privilegiado. Si, mientras nos percibimos a nosotros mismos quietos en un espacio completamente vacío, observáramos un objeto desplazándose con velocidad uniforme, no habría manera de saber si somos nosotros quienes nos movemos y es el otro objeto el que está quieto, o viceversa. Por la inercia y la suma cero de fuerzas, desde ambos puntos de observación se tendría la misma sensación de reposo, y la pregunta de quién se está moviendo realmente carecería de sentido en un sentido absoluto: sólo podemos describir el movimiento respecto de un marco de referencia determinado arbitrariamente, que es tan válido como cualquier otro.

segunda ley de Newton o principio fundamental

Este principio sostiene que la aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que se le aplica. La fórmula más habitual para describir este efecto es

F = m * a

donde para un objeto de masa constante m, la fuerza F aplicada es directamente proporcional a la aceleración a que el objeto sufre.

Esta ley sí que es intuitiva: es fácil imaginar cómo el impacto de un objeto sobre nosotros será tanto más fuerte cuanto más alta sea su velocidad relativa con respecto a nuestro propio movimiento. En el caso del impacto de dos objetos a la misma velocidad, evidentemente el objeto más masivo ejercerá una fuerza mayor.

La multiplicación en una fórmula expresa una relación lineal simple: a doble masa, doble fuerza ejercida; a triple aceleración del mismo objeto, triple fuerza.

tercera ley de Newton o principio de acción-reacción

Esta ley es una aportación original de Newton, y afirma que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo aplica una fuerza de la misma magnitud y dirección al primero, pero en sentido opuesto. Considerando dos cuerpos A y B, su formulación es muy sencilla:

F_ab = -F_ba

Esta ley implica que que no existen fuerzas aisladas, sino que todo son sistemas de fuerzas acopladas.

El principio de acción-reacción será determinante para entender más adelante cómo interactúan los sistemas complejos de partículas, especialmente en caso de los mecanismos que originan oscilaciones periódicas, y por consiguiente, los fenómenos sonoros que percibimos en la música como altura, dinámica y timbre.

entendiendo la fuerza

Descompongamos ahora la fuerza F a que hacen referencia las tres leyes. Para entender el significado físico de esta palabra debemos ver cómo la fuerza integra de otros componentes aún más fundamentales. La segunda ley define la fuerza en función de la masa y la aceleración del cuerpo involucrado. Veamos estos dos conceptos en detalle.

masa

La masa es la cantidad de materia del objeto en cuestión y se mide en kilogramos (kg).

No hay que confundir masa con peso. En la Luna, por ejemplo, nuestra masa sería la misma, pero nuestro peso sería mucho menor. Por la segunda ley, la fuerza F que ejerceríamos sobre la superficie de la Luna sería el producto de nuestra masa por la aceleración de la gravedad lunar (aprox. 1/6 de la gravedad terrestre).

aceleración

La aceleración mide el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo; a su vez, la velocidad mide el espacio recorrido en un intervalo de tiempo.

De nuestra manera coloquial de hablar de velocidad podemos deducir su fórmula. Si decimos, por ejemplo, que caminamos a 6 kilómetros por hora, nuestra velocidad puede expresarse así, usando metros y segundos:

v = 6000 m / 3600 s = 1,6 m/s

donde la velocidad media v es la proporción entre espacio recorrido e y tiempo empleado t en ese desplazamiento:

v = e / t

La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido (a mayor espacio recorrido en el mismo tiempo, mayor velocidad), e inversamente proporcional —de ahí la división— al tiempo empleado (a menor tiempo empleado para recorrer el mismo espacio, mayor velocidad).

El espacio recorrido e es la distancia entre los dos puntos del espacio x0 y x, al inicio y final del intervalo de tiempo medido, expresada como la diferencia x − x0 que calcula el desplazamiento. Esta diferencia se abrevia a menudo como Δx (delta x):

e = x - x0 = Δx

De manera análoga, el tiempo t transcurrido puede expresarse como el tiempo final t menos el tiempo inicial t0:

t - t0 = Δt

Así, nuestra fórmula básica de la velocidad puede encontrarse también así:

v = x - x0 / t - t0 = Dx / Dt

En el caso muy habitual de que consideremos en nuestro marco de referencia un tiempo inicial 0 y un punto del espacio 0 al inicio del movimiento medido, la expresión se simplificaría llegando a la formulación básica enunciada arriba.

La velocidad se mide en metros por segundo (m/s), una magnitud compuesta por las unidades fundamentales de espacio (m) y tiempo (s).

Una vez entendido el concepto de velocidad, es fácil entender la aceleración como un cambio en la velocidad. Volviendo a una expresión coloquial, es habitual oír que, por ejemplo, un coche puede acelerar de 0 a 100 km/h en 4 segundos. El lenguaje natural podemos traducirlo a esta fórmula, homóloga a la de velocidad:

a = v - v0 / t - t0 = Dv / Dt

donde la aceleración media a es la proporción entre el cambio de velocidad desde la velocidad inicial v0 a la final v, y el tiempo transcurrido entre el instante inicial t0 y el final t. Cuando velocidad inicial y tiempo inicial son 0 la fórmula queda simplificada:

a = v / t

Ejemplo: Un peatón camina a 2 metros por segundo y, al ver que está su autobús en la parada, empieza a correr durante 5 segundos y alcanza una velocidad de 6 metros por segundo. ¿Cuál ha sido su aceleración media en ese intervalo?

  • tiempo inicial t0: 0 s
  • tiempo final t: 5 s
  • velocidad inicial v0: 2 m/s
  • velocidad final v: 6 m/s
a = 6 m/s - 2 m/s / 5 s - 0 s = 4 m/s / 5s = 0,8 m/s^2

La aceleración se mide en m/s2 o, lo que es igual, m·s−2.

Ejemplos: Una aceleración de 0,8 m/s2 indica que la velocidad aumenta en 0,8 m/s cada segundo. La gravedad terrestre tiene una aceleración de -9,8 m/s2, lo que significa que si dejamos caer un objeto —en ausencia de fricción con el aire— se acelerará en el primer segundo hasta una velocidad de 9,8 m/s.

Es importante comprender cómo las unidades operan entre sí para dar lugar a la unidad de medida de la aceleración, el m/s2:

m/s : s = m/s^2 = ms^-2

midiendo la fuerza

Según la ley fundamental, la fuerza es el producto de la masa por la aceleración, por lo que su unidad de medida, el Newton (N), es el producto de las unidades de medida involucradas:

1 N = 1 kg * m/s^2

El Newton se define como 1 kg·m/s2 o, lo que es idéntico, 1 kg·m·s-2, y es la fuerza necesaria para, en 1 segundo, acelerar una masa de 1 kg a una velocidad 1 m/s mayor que su velocidad inicial. Esto es equivalente a decir, de modo más conciso, que 1 N acelera 1 kg en 1 m/s2.

límites de la mecánica clásica

Las leyes descritas arriba se encuadran en la denominada mecánica clásica. Estos modelos describen muy bien cómo se comportan los objetos en movimento en nuestra escala espacial y temporal. Esta mesoescala es en la que suceden los fenómenos sonoros que atañen a la música, por lo que la mecánica clásica es suficiente para modelarlos.

Sin embargo, para tener una visión más completa es conveniente saber que la mecánica clásica encuentra sus límites en la macroescala y microescala espacio-temporal. A escalas astronómicas necesitamos la teoría de la relatividad; en las subatómicas, la mecánica cuántica. Hagamos dos experimentos mentales para comprobarlo:

Para la mecánica clásica los efectos de interacción se producen instantáneamente. A nuestra escala es práctico considerar que la gravedad actúa sin ningún retraso, pero esto no es así. Si el Sol desapareciera de repente la Tierra saldría disparada en línea recta, como una piedra de una honda. Pero la pérdida de esta influencia gravitatoria no sería instantánea: tardaría unos 8 minutos en sentirse porque las ondas gravitatorias se transmiten a la velocidad de la luz.

Por el lado de lo muy pequeño, basta con darse cuenta de que las propiedades elásticas de los cuerpos dependen de sus propiedades macroscópicas. Si troceamos reiteradamente un trozo de metal llegaremos a la escala de los átomos, o incluso a sus constituyentes. En esta escala las fuerzas electromagnéticas y nucleares fuerte y débil serían dominantes. La transmisión de energía mecánica que origina el sonido se parece bien poco a cómo la describe la mecánica clásica, porque aparecen efectos completamente exóticos para nuestra intuición.

En un plano más musical, incluso el propio tiempo como lo entendemos podría no poder dividirse infinitamente: cortando intervalos de tiempo cada vez más cortos nos toparíamos en la microescala extrema con el tiempo de Planck, definido como el intervalo temporal discernible más pequeño.